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“鸡兔同笼”原来还可以这样解!99%的人都不知道奥数究竟学什么…

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昨天我们的数学专家分享了哪些孩子适合学习奥数的观点以及测试方法,今天我们将分享奥数究竟是学什么的,接下来的内容可能99%的家长都不知道。

奥数这门课程虽然在上世纪八十年代就已经开始授课,但却是在近十来年才突然火爆起来。当奥数与升学有千丝万缕的联系开始,许多父母都争先恐后的把子女送进各类教育机构学习奥数,然而许多父母并不了解奥数具体学些什么内容,更不要说了解它能对孩子产生什么影响了。


迄今为止,其实并没有任何教育专家或权威人士定义过何为奥数课程,由此可见,奥数课程是没有统一的教学大纲或课程标准的。


不过这并不代表奥数课程的教学内容是零散的、不系统的。事实上,各门各派的奥数教材在内容上一直有着许多共同的主题。下面就为各位家长介绍一下小学奥数课程要学些什么。


01


 研究古老而有趣的数学问题


接触过奥数的家长,你们也许会听孩子回来跟你谈论“鸡兔同笼”、 “植树问题”等非常古老而有趣的数学问题,这类问题早在一千多年前就已经有人在研究了。这类数学问题能流传至今,说明它在数学领域里有着很高的思维价值。这类数学问题有一套特定的解决策略,能帮助孩子拓宽思维边界。

【例1】一队士兵不足一百人,韩信问队长有多少人?队长回答:三三数之,余二,五五数之,余三,七七数之,余二。韩信闭目稍思,马上说出答案。请问这对士兵有多少人?

这是中国古代非常有名的数学问题——韩信点兵。在大学数学里,是用同余式的知识去解答。但在小学奥数里,是用有序枚举法最小公倍数的知识来解答的。


解:从最小的数开始,按顺序列举7除余2的数。


7除余2的数有:2、9、16、23、30、37、……


从上面列出的数中寻找有没有一个是5除余3的,于是发现,23是符合要求的数中最小的一个。这样,下一个同时符合“7除余2”、“5除余3”的数,只要在23的基础上加上5和7的最小公倍数35就行了。于是我们列举出以下这些数:23、58、93、128、……


最后一步,从上面列出的数中,寻找符合3除余2的数。经尝试,23是最小的一个,也就是说它同时符合“3除余2”、“5除余3”、“7除余2”三个条件。另一方面,23小于100,符合要求。


答:这队士兵有23人。

【例2】笼子里有鸡和兔,数一数头一共有8个,脚一共有26只。问鸡和兔各有多少只?

这题也是中国古代非常有名的“鸡兔同笼问题”,虽然用一元一次方程可以轻松解决,但过早使用方程公式来解决,会限制孩子数学思维的发散性。此题的精髓是在于用不同的方法进行解答,达到扩宽思维边界的目的。下面将用其中一种非常巧妙的算术方法来示例:


解:假设笼子里全是兔,那么一共有8×4=32(只)脚;已知的总脚数相差:32-26=6(只)。


因为我们把一些鸡都当成是兔来计算,所以脚的数目算多了,必须将某些“兔”改成“鸡”。一只兔比一只鸡多4-2=2(只)脚,所以6只脚的相差数需要用6÷2=3(只)鸡来补回,也就是说原来一共有3只鸡,那么兔的只数就是8-3=5(只)。


答:鸡有3只,兔有5只。


值得说明一下,“鸡兔同笼问题”早在2001年已经被人教版教材收录成为课程内容,只不过学习要求较低,而这两项内容在奥数课程里的学习要求会高出许多。


02


研究一类特定的思维方法

奥数课程的某些内容并不以特定的情境为主线,倒是各种各样情境下的数学问题,以一种特定的思维方法贯穿整个解答的过程。简单地说,奥数课程要让孩子们学会一系列解决数学问题的思维方法,比如逆推法、递归法、消去法、代换法等。


学过奥数的孩子就知道,原来一对兔子能生出来的小兔子对数有以下的规律: 1、1、2、3、5、8、13……,这列数叫斐波那契数列。该数列从第三项开始,每一项都是通过前面两项相加得到的。这里用到的就是递归的思想方法,简称为递归法。


03


小学奥数需掌握许多重要的运算技巧

上一篇文章《清华附中校长为什么叫停女儿奥数班?正在学奥数的你是否真的适合学奥数?正在学奥数的你是否真的适合学奥数?》里有说过,学习奥数需要有良好的运算能力,下面这道题即是此能力的体现:

解决上题要用到一种技巧叫做“裂项相消”,它的本质是“部分分式的拆分”,在初中奥数课程里也能见到它的身影。甚至到了大学数学课程,几乎所有的有理分式函数积分也要靠它才能完成。


04


小学奥数需提前学习部分

代数,几何,甚至数论方面的知识

奥数课程的教学内容还有个明显的特点,就是将提前学习中学甚至大学的教学内容,在代数和数论两个领域特别明显。例如小学奥数课程对解方程的要求比校本的要求高出许多,基本与初中一年级学生的要求持平。


虽然许多复杂的奥数题,利用方程来解决的话过程会便捷许多,但需要注意的是,奥数学习强调的是思维的扩展性和发散性,方程仅是一种解题的工具,在解题时不应过度依赖,需灵活使用多种解题思想,否则将会限制数学思维的发展。


关于奥数学习知识的超前性,下面用一道需调用到齐次线性方程的知识的“牛吃草问题”进行举例:

【例】牧场上有一片匀速生长的草地,可供27头牛吃5周,或供21头牛吃10周,那么可以供25头牛吃几周?


牛吃草问题非常抽象,由于涉及一些隐藏的比例关系,用算术方法解答很难理解,可以借助方程组来解决。但这是一个齐次方程组。


解:设草地上原有草量为A,每头牛每周吃草量为x,每周草地上草的增长量为y。根据等量关系式:牛的总吃草量=原有草量+若干周后草的增长量,列出下面的方程组:

用下式减上式可以消去A,得到75x=5y,即y=15x。利用特殊值法,令x=1,y=15代入原方程组中任一个,可得到A=60。接下来要求草地的草可以供25头牛吃多少周,用算术方法就行了:


60÷(25-15)=6(周)


答:可以供25头牛吃6周。


此外,无论是小学还是中学的奥数课程,数论知识都涉及得特别多,比如整除、公因数(公因式)、互质数(互素因式)等,这些知识只有到了大学数学专业才研究,却在奥数课程里有着重要的应用途径,绝对不能忽视! 


在看完上述专家对奥数课程内容的介绍后,我们相信家长们对这个课程有了更深的认识。


接下来,我们将继续与各位家长分享和探讨学习相对论的第三篇连载内容《聪明的孩子就应该去学奥数?看完你就明白了! 》

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