初识小学数学 | 暗藏在比一比中的“大”道理

来源:本站原创
时间:2021年03月09日
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翻开小学一年级的数学课本,许多人都觉得知识很简单,一看就明白。其实不然,今天卓越小学数学团队将向各位家长分析一下小学一年级课本中蕴含的大道理。要让孩子们明白这些大道理,可马虎不得,需要在许多细节处狠下功夫才行。

 

比较两堆物品数量的多少,这是生活中经常遇到的问题,在小学一年级的课本中,这也是学生最早接触到的数学问题。请看下图,图中的小鸡和小鸭,谁的只数多,谁的只数少?

许多成人应该会冲口而出:小鸡有3只,小鸭有5只,当然是小鸭只数多,小鸡只数少。这是常见的思路与答案,因为绝大多数成年人已经忘记了“比数量多少”最原始的方法。在小学课本中,比多少的内容安排在1至10这些自然数的学习之前,简单地说,孩子们在学比多少的时候,还没学1、2、3、4、5这些数。如果先数数再比多少,这无疑是一种“穿越”的行为。


一个精通基础数学教育的老师,是这样教“比多少”的:

一只小鸡和一只小鸭做好朋友(图中的连线表示它们之间的朋友关系),有两只小鸭没找到好朋友,所以小鸭只数比小鸡多。


显然,这样的教法强调的是小鸡和小鸭之间的一 一对应关系,并且利用这种关系来辨别鸡鸭数量的多少。在整个比较多少的过程中,从未涉及到鸡鸭各自的只数,也就是根本没提到“3只”和“5只”。

大多数的成人,甚至是某些标榜奥数超前的机构任教老师,都不一定能理解教材为什么要用“一 一对应”来比较数量多少,5比3大,“5只”不就比“3只”多吗,干嘛这么麻烦?其实这当中蕴含的可是大大的数学道理呢!

我们来看下面的这个数学问题,能接受并理解真正答案的人,也许只有十之一二。

正整数和正偶数,哪种数的个数更多?

这个问题也可以这样表述:设1、2、3、4、……全体正整数作成的集合叫A,2、4、6、8、……全体正偶数作成的集合叫B,那么集合A的元素多,还是集合B的元素多?

对于没有学过高等数学的人来说,他们的答案通常是以下两个:

(1)两个集合的元素都有无限多个 ,所以无法比较谁多谁少。

(2) 集合B里的元素,在集合A里都有(比如B里有2、4、6、8,A里全都有),但集合A里的元素,集合B里不一定有(比如A里有1、3、5、7,B里没有这些元素),毫无疑问,集合A的元素个数一定比集合B要多。

正确答案很让人吓一跳,其实A、B两个集合的元素是同样多的。要解释这个答案,不需要太高深的数学知识,只需要用到小学一、二年级的知识就足够了。请看下图:


显然,将集合A和集合B的元素按从小到大的顺序排列起来,那么从集合A中任意选取一个数,然后乘2,得到的积一定能在集合B中找到,并且是唯一的结果;反过来,找集合B中任意一个数,将它除以2,所得的商一定能在集合A中找到唯一的答案。


这样一来,集合A、集合B所有元素都能建立起一一对应的关系,自然地,它们的元素个数是一样多的。要解释清楚这个结论,只需要一年级课本里“比多少”的知识,以及二年级课本里的乘除法知识就足够了。大家是不是觉得很神奇呢?

我们不能小觑一年级课本里这个“比多少”的方法,它揭示了一个重要的数学原理:先数数再比较的方法,只能适用于比较两个有限集的元素个数,但一一对应的方法是比较数量多少的通法,不管你是有限集还是无限集,都可以比较出谁的元素个数更多,或者谁和谁的元素个数一样多。


笔者不妨在此多给一个结论:正分数和正整数也是同样多的。有兴趣的读者可以去查查这个结论的证明方法,这里就不赘述了。反馈到日常的教学中,你会发现有经验的老师是这样教孩子们做题的。请仔细看下面两幅图就明白了。

无论是连线还是画圈圈,其目的都是为了突出“一一对应”,这是一个需要孩子们充分经历的过程,也是一个培养数学素养的重要过程,绝对不能被剥夺去。家长们如果有兴趣,不妨留意一下你孩子的老师,有没有教会他们这种方法。


在本文的最后,给各位家长一点建议:大家如果有时间检查孩子的作业,则不要只关注最终答案的对错,更要关注孩子的思维过程。之前提到的连线、画圈等就是“比多少”的思维过程,通过这些内容,你将更好地了解到你孩子的思维状况。

3月11日,卓越小学数学团队将继续为大家分享《初识小学数学 | “数手指”与加减法的奇妙联系》,敬请期待。  


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