初识小学数学 | 意义重大的进位加法与退位减法

来源:本站原创
时间:2021年04月02日
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从“比一比”到“加减法”,初识小学数学系列对于小学一年级数学剖析,让许多家长从中了解到了一年级数学中所蕴含的数学素养,对于孩子未来的学习有多么的重要。今天卓越小学数学团队将为大家带来更加精彩的“意义重大的进位加法与退位减法”。

 

【1】


你知道9+4等于几吗?15-9等于几吗?


假如拿上面两个问题去问刚上一年级的孩子,相信能答出来的不在少数。皆因现在的家长都喜欢让自己的孩子赢在起跑线上,很可能这种进位加法退位减法,早在中班已经学会了。


不过,热衷于赢在起跑线上的人们,未必知道十几年前的课程改革,有一个关于数学学习的热点词语被多次提及,那就是“学习过程”。数学学习要重视过程,其实与古人所讲的“知其然知其所以然”,有一定程度上的关联。


10以内和20以内的加减法结果,是要背下来并记熟的,这牵涉到以后笔算加减法的速度和准确度。所以像9+4、15-9这样的算式得数,相信很多人都知道背下来的重要性。但在一年级教材中,却加入了一个有意思的环节,要学生在理解中记住这些运算结果。比如计算9+4,先想9和1凑成10,所以将4分成1和3,9加1等于10,10再加3等于13。同样地,计算15-9,可以先将15拆分成10和5,10先减9等于1,1和刚才拆出来的5合并成6。


大家可以用下面这个示意图来帮助理解:




【2】


如此简单的加减法计算,为什么要教这么复杂的计算方法呢?这当中可有着高深的道理。


不知道大家听过“恒等变形”这个数学词汇没有?恒等变形是数学解题方法中一种非常重要的技巧,它在高考数学压轴题中的用途有多广,想必不少家长上学时都有接触过。当然,我们不是为了高考压轴题才学这种方法,然而它确实是一种非常灵活的思维方法,对人的思维层次有着极大的提升作用。


下面将连续举四个例子,阐明恒等变形在数学解题中的广泛应用。这四个例子有一定的难度,它们对大家的数学基础有一定要求。所以建议大家自行选择自己能看得懂的例子去理解。




上面的四个例子,分别来自小学、初中、高中和大学的数学。在解题时都不约而同地用到恒等变形的方法。所谓恒等变形,就是指一个代数式被改变了运算顺序、运算种类及运算数与式,却没有改变运算的结果。


这里挑最容易解释的例1来说明一下。将45×99变形为45×(100-1),由于没有影响运算结果,所以是恒等的。请注意算式变形前后:运算顺序发生了变化,后者要先算减法再算乘法;运算种类发生了变化,后者多了一步减法;运算数发生了变化,99变成了100和1。


要知道,各种恒等变形的技巧,许多高三老师可是用一个学期的时间来训练学生的,为了就是冲击高考压轴题。可又有谁知道,恒等变形的萌芽训练并非来自于高三,更不是来自于初三,而是来自于小学一年级课本。


回过头来看9+4的计算,实际上就是一个恒等变形的过程。

9+4=9+1+3=10+3=13。

同样地,15-9=10-9+5=1+5=6。


以上两种恒等变形的技巧,小学老师喜欢分别将它们命名为“凑十法”和“破十法”。为什么9+4要恒等变形为9+1+3,而不是9+2+2呢?因为9和1能凑成10,10和3合在一起,按照十进制计数法的原则,就是13。这表明,恒等变形是有根据的,是一种有关联的思考(这里的关联点是9和1凑成10),所以现在大家一定明白,为什么恒等变形是一种高层次的思维方式。


【3】


回头看看前面的三个例子,在恒等变形的过程中,关联各是什么。



例4的恒等变形,思维的关联点是:怎样将复杂的有理分式转化为分母是一次多项式的简单分式,从而利用自然对数函数的积分公式进行不定积分。


恒等变形的难点在于变形前后要保持运算结果的一致性,并且这种一致性要兑现成数学符号与文字。教过小学中高年级的老师,可能有见过学生犯以下的错误:


45×99=45×100=4500-45=4455


也许这个学生是懂得用乘法分配律进行恒等变形从而简算,但他(她)对恒等变形的理解肯定未到家。请看第一步,明明是45×99,怎么变成45×100,这显然是不恒等的。然而会犯这种错的学生并不在少数。因此,恒等变形的思维训练不可能一下子就能掌握,是需要长期训练的,不仅仅通过做题,更要通过新授课例题讲解时一再渗透,经过年而复年的熏陶,学生才能真正理解,自觉做到变形前后结果恒等。


【4】


在小学阶段,用恒等变形的方法来计算20以内进位加法和退位减法,前前后后需要十几节课。按每节课40分钟来算,一共需要8至9小时。假如你的小孩报读的课外辅导,是那种两三天的时间就学完一个学年全部数学课的话,你觉得授课老师会这样深入地给你的孩子渗透恒等变形思想吗?答案不言而喻!据了解,破十法和凑十法,从新中国成立到现在,几乎所有的小学一年级教材都雷打不动地要求老师要教会学生,可见其历史悠久及意义重大。


只重视知识获得的最终结果,而不关注学习过程中的思维提升与拓展,这正是过早、过快、过难的学习模式的主要的弊病。


最后提醒各位家长:当你的孩子已经迈进一年级的学习大门,那么作为家长的你,不妨留意一下孩子啥时候学到进位加法和退位减法,然后试一试抽查孩子会不会用凑十法或破十法解释加减法的计算过程,从而相当于检查孩子对最原始最基础的恒等变形技巧掌握得怎样。


小试牛刀


假如你对恒等变形已经有所了解,并且想挑战一下自己实力的话,可以挑战下图卓越老师出的数学题,这些题目都要利用恒等变形才能解决的。



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